Умножение вещественных чисел в формате с фиксированной точкой

Рассмотрим умножение вещественных чисел (a, b — исходные вещественные числа; r — вещественный результат).

r = a×b

Преобразуем вещественные числа из float-point во fractional и распишем операцию умножения подробнее

R = A×B = a×2^n₁ × b×2^n₂ = r×2ⁿ, где

• a = A×2^−n₁ — это множимое; b = B×2^−n₂ — множитель; r = R×2⁻ⁿ — результат операции.

• a, b, r — это вещественные числа

• A, B, R — мантиссы (целые числа)

• n₁, n₂, n — показатели степени или порядки чисел (целые числа)

Правило перемножения вещественных чисел

При умножении вещественных чисел, которые представлены как мантисса и порядок, мантисы перемножаются, а порядки складываются.

• Перемножение мантисс: R=A×B

• Сложение порядков: n=n₁+n₂

R = A×B = a×2^n₁ × b×2^n₂ = r×2ⁿ = a×b×2^n₁+n₂

При умножении чисел в формате fractional производится только умножение — R=A×B.

Формат представления вещественных чисел

Выберем формат данных для примеров. Формат Qm.n, где m — количество бит целой части и n — количество бит дробной части. Общее количество бит b=m+n.

Формат данных (Qm.n)

Общее количество бит (b)	8 16 24
Количество бит для целой части (m)
Количество бит для дробной части (n)

Легко заметить, что после выполнения операции умножения формат результата изменяется (было Q., стало Q.) и требует бит в целом (было ).

a = A×2⁻; b = B×2⁻; r = R×2⁻

Для приведения результата операции к тому же формату, что и аргументы, необходимо разделить результат умножения на 2.

Операция перемножения вещественных чисел в формате fractional.

• Перемножение мантисс: R=A×B

• Восстановление формата: R=R×2⁻

Деление целых чисел на 2 реализуется с помощью операции арифметического сдвига вправо на .

Также для деление целых чисел на 2 можно использовать операцию арифметического сдвига влево на с последующей операцией выделения старших бит. Выделение старших бит обычно делается простой ассемблерной командой. Так же арифметический сдвиг влево на предпочтительнее делать если производится несколько подряд умножений с накоплением. В этом случае результат вычислений получается более точным.

Пример реализации умножения чисел в формате fractional на языке С.

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>

#define FRACTIONAL_BASE (1<<)

#define INTMAX ((1<<)-1)
#define INTMIN (-1<<)
#define INTMAX ((1U<<)-1)

int_t mul(int_t A, int_t B)
{
    int_t R;

    R = (int_t)A * B;

    if(R == (1<<))
        return INTMAX;
    
    R <<= ;

    return R;
}

int_t getHi(int_t x)
{
    union {
        int_t x;
        struct {
            int_t lo;
            int_t hi;
        };
    }   hl;
    hl.x = x;
    return hl.hi;
}

int_t mul(int_t A, int_t B)
{
    int_t R;

    R = mul(A,B);
    
    return getHi(R);
}

int_t float2fixed(float x)
{
    x *= FRACTIONAL_BASE;
    x = min(x,INTMAX);
    x = max(x,INTMIN);

    return (int_t)x;
}

float fixed2float(int_t x)
{
    return x/(float)FRACTIONAL_BASE;
}

void main()
{
    float a = 0.1f;
    float b = 0.5f;
    float r;
    int16_t A, B, R;

    A = float2fixed(a);
    B = float2fixed(b);

    R = mul(A,B);

    r = fixed2float(R);

    printf("%f*%f=%f\n",a,b,r);
}

Рассмотрим приведенный пример. Для начала вещественные значения a и b конвертируются во fractional A и B с помощью вызова функции float2fixed. При конвертации производится проверка на область допустимых значений с помощью библиотечных float-point функций min/max. Для получения вещественного результата r используется обратная функции fixed2float, в которой используется float-point деление.

При разработке программ, рассчитанных на выполнение в реальном времени, очень важно различать какие операции выполняются с использованием "медленных" библиотечных float-point функций, а какие исполняются "быстрыми" операциями.

Функция умножения mul вызывает функцию mul, которая возвращает битный результат. Внутри функции mul производится собственно умножение чисел, проверка на переполнение и коррекция формата.

Если данные уже сконвертированы в формат fractional, то сами операции умножения и коррекции формата занимают 2-3 ассемблерные инструкции и могут выполняться за один такт процессорного времени!

Умножение fractional на integer

В некоторых случаях необходимо умножать вещественное число на целое число. Рассмотрим, как это сделать используя целочисленную арифметику. Вещественное число представляется в формате fractional, а целое число в формате integer. Значение integer обычно больше единицы (или меньше −1) и его нужно представить в виде fractional мантиссы и integer порядка. Тогда мы сможем умножить исходное вещественное число на мантиссу, а результат сдвинуть на полученный порядок.

Для разложения целого числа на мантиссу и порядок необходимо найти ближайшую степень двойки которая больше или равна исходному целому числу.

Например, если исходное целое — i, нам нужно найти порядок e, который удовлетворяет условию: i≤2^e. Это можно сделать с помощью цикла, в котором исходное целое будет делиться на два до тех пора, пока не станет равно нулю. Количество итераций цикла и будет искомый порядок (e). Для нахождения мантиссы s достаточно разделить исходное целое i на 2^e. Для вычисления мантиссы (f) в формате fractional можно использовать целочисленное деление (мы его рассмотрим позже).

Результат разложения исходного целого числа на мантиссу и порядок: i=s×2^e (если s — float-point) или i=f<<e (если f — fractional)

Разложения целого числа

Целое (i)
Мантисса (s)
Мантисса (f)
Порядок (e)

После разложения целого числа на мантиссу и порядок, нам нужно умножить исходное fractional на мантиссу, а потом умножить полученный результат на 2^e. Для умножения на 2^e можно использовать арифметический сдвиг влево (записывается, как <<).